Metodos de las corrientes: mayo 2011

Teorema de norton

Paso 1: El circuito original

Paso 2: Calculando la intensidad de salida equivalente al circuito actual

Paso 3: Calculando la resistencia equivalente al circuito actual

Paso 4: El circuito equivalente

En el ejemplo, I_total viene dado por:

$I_\mathrm{total} = {15 \mathrm{V} \over 2\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \| (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega)} = 5.625 \mathrm{mA}$

Usando la regla del divisor, la intensidad de corriente eléctrica tiene que ser:

$I = {1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega \over (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega)} \cdot I_\mathrm{total}$

$= 2/3 \cdot 5.625 \mathrm{mA} = 3.75 \mathrm{mA}$

Y la resistencia Norton equivalente sería:

$R = 1\,\mathrm{k}\Omega + 2\,\mathrm{k}\Omega \| (1\,\mathrm{k}\Omega + 1\,\mathrm{k}\Omega) = 2\,\mathrm{k}\Omega$

Por lo tanto, el circuito equivalente consiste en una fuente de intensidad de 3.75mA en paralelo con una resistencia de 2 kΩ

En la teoría de circuitos eléctricos, el teorema de Thévenin establece que si una parte de un circuito eléctrico lineal está comprendida entre dos terminales A y B, esta parte en cuestión puede sustituirse por un circuito equivalente que esté constituido únicamente por ungenerador de tensión en serie con una impedancia, de forma que al conectar un elemento entre las dos terminales A y B, la tensión que cae en él y la intensidad que lo atraviesa son las mismas tanto en el circuito real como en el equivalente.

El teorema de Thévenin fue enunciado por primera vez por el científico alemán Hermann von Helmholtz en el año 1853,¹ pero fue redescubierto en 1883 por el ingeniero de telégrafos francés Léon Charles Thévenin (1857–1926), de quien toma su nombre.² ³ El teorema de Thévenin es el dual del teorema de Norton.

En primer lugar, calculamos la tensión de Thévenin entre los terminales A y B de la carga; para ello, la desconectamos del circuito. Una vez hecho esto, podemos observar que la resistencia de 10 Ω está en circuito abierto y no circula corriente a través de ella, con lo que no produce ninguna caída de tensión. En estos momentos, el circuito que necesitamos estudiar para calcular la tensión de Thévenin está formado únicamente por la fuente de tensión de 100 V en serie con dos resistencias de 20 Ω y 5 Ω. Como la carga RL está en paralelo con la resistencia de 5 Ω (recordar que no circula intensidad a través de la resistencia de 10 Ω), la diferencia de potencial entre los terminales A y B es igual que la tensión que cae en la resistencia de 5 Ω (ver también Divisor de tensión), con lo que la tensión de Thévenin resulta:

$V_{TH} = \frac {5} {20 + 5} \cdot 100 = 20\,\, V$

Para calcular la resistencia de Thévenin, desconectamos la carga del circuito y anulamos la fuente de tensión sustituyéndola por un cortocircuito. Si colocásemos una fuente de tensión (de cualquier valor) entre los terminales A y B, veríamos que las tres resistencias soportarían una intensidad. Por lo tanto, hallamos la equivalente a las tres: las resistencias de 20 Ω y 5 Ω están conectadas en paralelo y éstas están conectadas en serie con la resistencia de 10 Ω, entonces:

$R_{TH} = \frac {20 \cdot 5} {20 + 5} + 10 = 14\,\,\Omega$

Método de superposición

Arriba:circuito original.
En medio: circuito con sólo la fuente de tensión.
Abajo:circuito con sólo la fuente de corriente.

En el circuito de arriba de la figura de la izquierda, calculemos la tensión en el punto A utilizando el teorema de superposición.Como hay dos generadores, hay que hacer dos cálculos intermedios.

En el primer cálculo, conservamos la fuente de tensión de la izquierda y remplazamos la fuente de corriente por un circuito abierto. La tensión parcial obtenida es:: $V_1=V_\circ\textstyle{{Z_2\over Z_1+Z_2}}$

En el segundo cálculo, guardamos la fuente de corriente de derecha y remplazamos la fuente de tensión por un cortocircuito. La tensión obtenida es:: $V_2=I_\circ \left(Z_1\parallel Z_2\right)= I_\circ \textstyle{{Z_1Z_2\over Z_1+Z_2}}$

La tensión que buscamos es la suma de las dos tensiones parciales:: $V_A=V_1+V_2=V_\circ \textstyle{{Z_2\over Z_1+Z_2}}+ I_\circ \textstyle{{Z_1Z_2\over Z_1+Z_2}}= \textstyle{{V_\circ Z_2+I_\circ Z_1Z_2\over Z_1+Z_2}}$

Método de transformación de fuentes

Puede ver en detalle el modelo resaltado en verde, conectado a una resistencia de carga RL.

Basándose en este modelo se ve que la fuente de voltaje real esta conformada por una fuente (vg) ideal en serie con una resistencia interna (Rg), el voltaje v visto por la resistencia de carga es igual a:

Como se puede observar en el caso de circuito abierto (i=0) se tiene que v = vg, y bajo condiciones de corto circuito i = vg/Rg . Teniendo en cuenta que Rg siempre es mayor que cero en una fuente verdadera, la fuente nunca podría entregar una corriente infinita.

En una fuente dada, con los valores vg y Rgseleccionados, la resistencia de carga RL es la que determina el flujo de corriente entre las terminales, debido a:

y aplicando un divisor de voltaje se tiene:

Por lo tanto cuando se varia RL tanto i como v varían a continuación mostraremos la relación de v vs RL.

En la gráfica se puede observar, cual es la diferencia entre el comportamiento de una fuente ideal y una fuente real de voltaje, como se puede ver al aumentar el valor de RL, el valor de v se acerca al valor de vg y cuando se presenta el caso de que RL sea infinita, un circuito abierto, el valor de v es igual al de vg.

Se puede remplazar la fuente real de voltaje por una fuente real de corriente, escribiendo:
si se hace:
Entonces se tiene:

Ahora el circuito escrito por la anterior ecuación, seria de la forma:

Las figuras tanto de la fuente real de voltaje como la de la fuente real de corriente son equivalentes entre terminales, si Rg es igual en ambos casos y se cumple que:

Si se hace un divisor de corriente para obtener i, se encuentra la siguiente ecuación:

Si se varia RL con respecto a la corriente, se puede obtener la siguiente gráfica del comportamiento de la fuente real de corriente.

Como se puede observar, la fuente ideal a medida que la resistencia de carga aumenta, disminuye la cantidad de corriente que puede suministrar.

Método de la tensión por nodo

metodo de las tensiones por nodos

DEFINICIÓN DE NODO

Si tenemos un punto en el cual se conectan dos o más ramas eléctricas y por el cual fluyen distintas corriente eléctricas, entonces podemos denominar este punto como un Nodo o también llamada nudo, este punto es un empalme de conductores formados por alambres ideales (despreciando su resistencia).

Si en la Terminal A se empieza el recorrido alrededor del circuito, pasando en orden por cada nodo (a, b, c, d); entonces habremos recorrido una trayectoria cerrada por nodos. Desde este punto de vista la ley de las corrientes de kirchhoff nos dice que la suma algebraica de las corrientes en un nodo es cero 0 en todo instante, por lo que una carga $\mathbb{Q}$ no puede acumularse en un nodo.

RESOLUCIÓN POR NODOS

1. elegimos los nodos a los cuales les calcularemos la corriente que entra y sale de este punto (Va, Vb, Vc, Vd) teniendo en cuenta que uno de estos nodos es el de referencia (fig 1), es decir el nodo que va a tierra por lo tanto allí el voltaje es 0.

2. aplicando leyes de kirchhoff procedemos a plantear las ecuaciones para cada uno de los nodos; si el número de nodos es

n

, el número de ecuaciones será

n - 1

porque siempre se escoge un nodo de referencia el cual no se le elabora ecuación. 3. Para hallar la ecuación de cualquier nodo, empezamos asumiendo una polaridad en cada resistencia, de acuerdo al nodo que vayamos a analizar. 4. Teniendo las ecuaciones planteadas, determinamos las variables matemáticas y se procede a resolver el sistema de ecuaciones por los diferentes métodos algebraicos

Ejemplo: Del siguiente circuito debemos hallar los voltajes en sus diferentes nodos

Si se quiere calcular el voltaje en el nodo Va, decimos que laresistencia de

2Ω

tiene la siguiente
polaridad

$\displaystyle \frac{V_a-V_b}{2}=10$
simplificando
${1 \over 2}V_a-{1 \over 2}V_b=10$
Para calcular el voltaje en el segundo nodo (Vb) las resistencias que van a dicho nodo tendrán la siguiente polaridad

$\displaystyle \frac{V_b-V_a}{2}+\displaystyle \frac{V_b}{3}+\displaystyle \frac{V_b-V_c}{4}=0$
factorizando obtenemos
$-{1 \over 2}V_a+{13 \over 12}V_b-{1 \over 4}V_c=0$
Para la polaridad del nodo Vc asumimos así:

$\displaystyle \frac{V_c-V_b}{4}+\displaystyle \frac{V_c}{5}=0$
factorizando obtenemos
$-{1 \over 4}V_b+{9 \over 20}V_c=0$
Obtenemos un sistema de ecuaciones del cual podemos determinar los valores del los voltajes en los nodos.
${1 \over 2}V_a-{1 \over 2}V_b=10$
$-{1 \over 2}V_a+{13 \over 12}V_b-{1 \over4}V_c=0$
$-{1 \over 4}V_b+{9 \over 20}V_c=0$
obteniendo como resultado de los voltajes:
$V a = 42.5 V$
$V b = 22.5 V$
$V c = 12.5 V$

Metodo de la corriente de rama

T e o r e m a d e S u p e r p o s i c i ó n

Ejercicio 1: Usando superposición determine la corriente IX que pasa por el resistor de 4 Ω.

Respuesta: IX = 2 . 5 A .

Ejercicio 2: Usando superposición determine la corriente IX que pasa por el resistor de 6 Ω. ¿Cuál es la potencia disipada en dicho resistor?

Respuesta: IX = 8 A , P = 2 1 6 W

T e o r e m a d e T h é v e n i n .

Ejercicio 3: Encuentre el equivalente Thévenin entre las terminales a y b del siguiente circuito. Utilizando el equivalente encuentre la corriente que pasa por RL para los valores: 2, 10 y

100 Ω.

Respuesta: RT h

= 2Ω, VT h

= 6 V, IL = 2

= 1 . 5 A , IL = 1 0

= 0 5 A , IL = 1 0 0

= 0 . 0 5 9 A .

Ejercicio 4: Encuentre el equivalente Thévenin entre las terminales a y b del siguiente circuito.

Respuesta: RT h

= 6Ω, VT h

= 4 8 V

T e o r e m a d e N o r t o n .

Ejercicio 5: Determine los circuitos equivalente Norton de los ejercicios 3 y 4.

Respuesta: IN

= 3 A . , IN

= 8 A .

T e o r e m a d e l a m á x i m a t r a n s f e r e n c i a d e p o t e n c i a .

Ejercicio 6: Para el siguiente circuito determine el valor de R

para una máxima transferencia de potencia hacia R, y determine

el valor de esa potencia.

Respuesta: R = 1 0Ω, PMáx

= 0.4 W.

jueves, 5 de mayo de 2011